7. Sınıf Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama Süreç Testi – Online Çöz

Rasyonel sayı, iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayıdır. Bu gösterimde sayı genellikle a/b kesriyle ifade edilir; burada a pay, b paydadır ve payda sıfır olamaz. Örneğin 3/4, −5/2 ve 7/1 rasyonel sayılardır. Tam sayılar da paydaları 1 olacak şekilde kesir biçiminde yazılabildiğinden rasyonel sayılar kümesine girer. Bir sayının kesir biçiminde gösterilmesi, onu karşılaştırırken farklı yazımları ortak bir yöntemle incelemeyi sağlar.

Pay, kesrin kaç eş parçayı belirttiğini; payda ise bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir. İşaret de sayının sıfıra göre konumunu ve değerini etkiler. Kesirlerde eksi işareti payın önünde, payın yanında veya kesrin önünde yazılabilir; bu gösterimler aynı negatif değeri anlatır. Payda pozitif tutulduğunda işaretin okunması kolaylaşır. Örneğin −2/5, sıfırın solunda bulunan bir sayıdır. Pozitif kesirler sıfırın sağında, negatif kesirler ise solunda yer alır.

Karşılaştırma yapmaya başlamadan önce sayıların pozitif, negatif ya da sıfır olduğunu belirlemek gerekir. Her pozitif sayı sıfırdan, dolayısıyla her negatif sayıdan büyüktür; sıfır da bütün negatif sayılardan büyüktür. İki sayı aynı işaretliyse değerlerini kendi aralarında incelemek gerekir. Sayı doğrusunda sağda bulunan sayı her zaman daha büyüktür. Bu temel kural, kesirlerin paydaları farklı olsa bile geçerlidir; gerekirse sayılar eş değer kesirlere dönüştürülerek konumları belirlenir.

Negatif sayılarda sağa doğru ilerledikçe değer büyür; bu nedenle sıfıra daha yakın olan negatif sayı daha büyüktür. Örneğin −1/3, −2/3’ten büyüktür; çünkü −1/3 sayı doğrusunda daha sağdadır. Benzer biçimde −4, −2’den küçüktür. Pozitif sayılarda ise sağda kalan sayı, örneğin 3/4, 1/2’den büyüktür. Karşılaştırmada önce işaretleri belirleyin, ardından gerekirse ortak payda bulun ya da sayı doğrusundan yararlanın; son olarak sağda olanı büyük kabul edin.

Kesirleri karşılaştırırken önce pay ve paydaların eşit olup olmadığına, ardından sayıların işaretlerine bakılır. Paydaları eşit kesirlerde payı büyük olan kesir daha büyüktür; çünkü eşit büyüklükteki parçalardan daha fazla sayıda alınmıştır. Örneğin 5/8, 3/8’den büyüktür. Payları eşit pozitif kesirlerde ise paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Bir bütün daha az parçaya bölündüğünde her parça büyür; bu nedenle 2/3, 2/5’ten büyüktür. Payda büyüdükçe parçaların küçüldüğünü hatırlamak, bu kuralı doğru uygulamaya yardımcı olur.

Paydalar farklıysa kesirleri ortak paydada eşitlemek, özellikle kesirleri sıralarken kullanışlıdır. Paydaların ortak katı bulunur ve her kesir, değerini değiştirmeden bu paydaya dönüştürülür. Örneğin 1/3 ile 2/5 karşılaştırılırken ortak payda 15 seçilebilir: 1/3 = 5/15 ve 2/5 = 6/15 olduğundan 2/5 daha büyüktür. İki kesir için çapraz çarpma da pratiktir: a/b ile c/d karşılaştırılırken a·d ve c·b hesaplanır. Paydalar pozitifse bu çarpımların büyüklüğü, kesirlerin sırasını gösterir. Aynı örnekte 1·5 = 5, 2·3 = 6 olduğu için 2/5 daha büyüktür. Daha çok kesri birlikte sıralarken ortak payda genellikle daha anlaşılır; yalnızca iki kesri karşılaştırırken çapraz çarpma daha hızlı olabilir.

İşaretleri farklı iki sayıda pozitif sayı her zaman negatif sayıdan büyüktür; örneğin 1/4 > −3/4. İki negatif kesri karşılaştırırken mutlak değerleri dikkate alınır: mutlak değeri büyük olan, sayı doğrusunda sıfırdan daha uzakta ve daha küçüktür. Bu yüzden −5/6 < −2/3; çünkü 5/6, 2/3’ten büyüktür. İşlem hatalarını önlemek için önce işaretleri belirleyin, sonra gerekiyorsa mutlak değerleri karşılaştırın. Çapraz çarpma yaparken negatif işaretleri gözden kaçırmayın; paydaları pozitif biçimde yazmak ve sonuçları sayı doğrusunda kontrol etmek sıralamayı doğrulamayı kolaylaştırır.

Birden fazla rasyonel sayıyı küçükten büyüğe sıralarken ilk adım, her sayının işaretini belirlemektir. Negatif sayılar sıfırdan küçüktür, pozitif sayılar sıfırdan büyüktür ve sıfır ikisinin arasında yer alır. Bu nedenle negatif, sıfır ve pozitif sayıları önce kendi gruplarına ayırmak sıralamayı kolaylaştırır. Örneğin −3/4, 0 ve 2/5 sayılarında en küçük sayı −3/4, en büyük sayı 2/5’tir. Bir negatif sayı ile bir pozitif sayı karşılaştırıldığında, negatif sayı her zaman daha küçüktür.

Aynı işaretli kesirleri karşılaştırmak için paydaları eşitleyebilirsiniz. Paydaları farklı olan kesirleri ortak paydaya çevirdiğinizde payları karşılaştırmak yeterlidir. Pozitif kesirlerde payı küçük olan kesir daha küçüktür; negatif kesirlerde ise işaret nedeniyle bu yorum tersine döner. Örneğin −1/2 ve −3/4 kesirlerini ortak paydada −2/4 ve −3/4 biçiminde yazabiliriz. −3/4, sayı doğrusunda daha solda bulunduğundan −1/2’den küçüktür. Kesirleri ondalık gösterime çevirmek de uygun durumlarda işe yarar: 1/4 = 0,25 ve 1/3 yaklaşık 0,33 olduğundan 1/4 daha küçüktür. Devirli ondalıklarda yaklaşık değer kullanırken karşılaştırma için yeterli basamak yazmaya dikkat edin.

Bir listeyi sıralamak için sayıları ikişer ikişer karşılaştırın ve bulunan küçük değeri listenin başına yerleştirerek ilerleyin. Örneğin −1/2, 3/4, −2/3 ve 0 sayılarında önce negatifleri karşılaştırırız: −2/3 < −1/2. Ardından sıfır ve pozitif sayı gelir. Küçükten büyüğe sıralama −2/3 < −1/2 < 0 < 3/4 biçimindedir. Aynı listeyi büyükten küçüğe yazmak için sırayı ters çeviririz: 3/4 > 0 > −1/2 > −2/3. Son kontrol olarak sayı doğrusunu kullanabilirsiniz; sağa doğru ilerledikçe değerler büyür. Böylece işaret, ortak payda veya ondalık gösterimle yaptığınız karşılaştırmaların tutarlı olup olmadığını görür, sıralama hatalarını fark edebilirsiniz.

Aşağıdaki süreç testinde her soruda sonucu yazmanın yanı sıra kullandığınız yöntemi ve gerekçenizi açıklayın. Sorular kolaydan zora doğru sıralanmıştır.

Sorular

1. 3/8 ile 5/8’i karşılaştırın. Hangi özelliği kullanarak karar verdiğinizi belirtin.

2. 2/3 ile 3/5’i karşılaştırın. Kesirleri ortak paydada göstererek işleminizi açıklayın.

3. −2/5 ile −3/7’yi karşılaştırın. İşaretlerin karşılaştırmayı nasıl etkilediğini gerekçelendirin.

4. −1/2, 0 ve 3/4 sayılarını sayı doğrusunda gösterip küçükten büyüğe sıralayın. Konumlarını açıklayın.

5. 1/2, −2/3, 3/4 ve −1/4 sayılarını küçükten büyüğe sıralayın. Kullandığınız stratejiyi belirtin.

Çözümler ve stratejiler

1. Paydalar eşit olduğundan paylar karşılaştırılır. 3 < 5 olduğu için 3/8 < 5/8. Paydaların aynı olması, her iki kesrin de sekizde birlik parçalarla ifade edildiği anlamına gelir.

2. Ortak payda 15’tir: 2/3 = 10/15 ve 3/5 = 9/15. 10 > 9 olduğundan 2/3 > 3/5. Alternatif olarak çapraz çarpma yapılır: 2×5=10, 3×3=9; büyük çarpım, pozitif kesrin büyük olduğunu gösterir.

3. Önce pozitif büyüklükleri karşılaştırın: 2/5 = 14/35, 3/7 = 15/35. Negatif sayılarda sıfıra daha yakın olan daha büyüktür; bu nedenle −2/5 > −3/7. Negatif işaretleri yok saymak sık yapılan bir hatadır.

4. Sayı doğrusunda −1/2 sıfırın solunda, 3/4 sağındadır. Dolayısıyla −1/2 < 0 < 3/4. Sağa gidildikçe sayılar büyür.

5. Ortak payda 12 seçilirse sıralama −8/12 < −3/12 < 6/12 < 9/12 olur. Sonuç: −2/3 < −1/4 < 1/2 < 3/4. Negatifleri önce kendi aralarında, pozitifleri sonra karşılaştırmak işlemi kolaylaştırır.

Kontrol listesi

Paydaları doğru eşitledim mi? Negatif sayılarda işareti dikkate aldım mı? Sıralamada sayı doğrusunun yönünü kullandım mı? Her sonuca yöntem ve gerekçe ekledim mi? Cevabımı yaklaşık değerlerle kontrol ettim mi?